Eventi Dipartimento di Matematica - Politecnico di Milano

Nè poteva la natura formare uno ingegno più spedito che esercitasse e mettesse in opera le cose dell'arte con maggiore invenzione e misura come costui... Bramante... la virtù del quale si estese tanto negli edificj da lui fabricati, che le modanature delle cornici, i fusi delle colonne, la grazia de' capitegli, la base, le mensole, ed i cantoni, le volte le scale, i risalti, ed ogni ordine di architettura... Perché se pure i Greci furono inventori dell'architettura e i Romani imitatori, Bramante non solo imitandogli con invenzion nuova ci insegnò, ma ancora bellezza e difficultà accrebbe nell'arte, la quale per lui imbellita oggi veggiamo.
Così Vasari chiosa la personalità di Donato Bramante, artista centrale nel Rinascimento italiano. Per quanto la sua fama si debba soprattutto all'attività da lui condotta dopo il soggiorno milanese, quando, intorno al 1500 si trasferì a Roma, dedicandosi allo studio dell'architettura antica e diventando l'artefice del rinnovamento di Giulio II, tuttavia nel ventennio milanese egli operò un sostanziale cambiamento.
Formatosi a Urbino vicino a Piero della Francesca e Signorelli, trascorse inizialmente più di vent'anni in Italia Settentrionale e soprattutto nella Milano sforzesca che ospitava negli stessi anni anche Leonardo. A differenza di questi, che assunse lo status di artista di corte, fu inizialmente in contatto con gli ambienti nobiliari di spicco: Gasparo Visconti, Gian Giacomo Trivulzio e altri, entrando tra i fiduciari della corte, sembra, alla fine degli anni Ottanta, all'epoca del cantiere del Duomo di Pavia.
Fu umanista, conoscitore di Vitruvio e Alberti, poeta, interessato alle tecniche artistiche più varie (dal lavorare la terracotta alle vetrate e alle incisioni) viste sotto il segno della prospettiva, della modernità e della progettazione. A Milano egli non ebbe interessi unitari, come sarebbe stato a Roma, ma molto frastagliati e ricchi e quindi in grado di influenzare artisti di ogni genere. Ebbe sicuramente un unico denominatore nell'esercizio della progettazione unitaria, ma non ebbe idee statiche o monolitiche, così da accogliere un certo ecclettismo formale e un'accettazione dei maestri locali, cosa che gli permise di dialogare con essi e di far sentire la forza delle proprie idee. Forse anche per il carattere gioviale, e per l' interesse per la prassi esecutiva (come la serialità nell'uso dei modelli antichi, e la progettazione a incastro degli arredi e dei cori monastici), la sua influenza nel ducato milanese fu diffusa e sostanziale.
Proprio il riflesso della sua presenza nei vari generi è l'argomento di questa lezione che la Pinacoteca di Brera dedica al grande architetto, quasi che in questo ricco repertorio si nasconda l'essenza di "Bramante milanese". Forse Bramante ha segnato per sempre il destino votato all'architettura, al design e alla modernità del Politecnico e di Milano.

24 Febbraio, 2015 14:00

MOX Seminar

New numerical approaches for Discrete Fracture Network flow simulations

Stefano Berrone, Politecnico di Torino

Aula Saleri VI Piano Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano

abstract

A Discrete Fracture Network model describes a geological reservoir as a system of inter-secting planar polygons representing the network of fractures in the underground. Fracture
intersections are called traces. The quantity of interest is the flow potential, called hydraulic
head, given by the sum of pressure and elevation. The hydraulic head is ruled by Darcy's law in each fracture, with additional matching conditions which ensure hydraulic head continuity and flux balance at fracture intersections. Thanks to these matching conditions, the hydraulic head is continuous across traces but jumps of gradients may occur as a consequence of flux exchange between intersecting fractures. Hence, traces are typically interfaces of discontinuities for the gradient of the solution.

Standard finite element methods or mixed finite elements are widely used for obtaining a numerical solution also in this context, but they require mesh elements to conform with the traces in order to
correctly describe the irregular behavior of the solution. This poses a severe limitation, since realistic fracture networks are typically very intricate, with fractures intersecting each other with arbitrary orientation, position, density and dimension. A conforming meshing process may result infeasible, or might
generate a poor quality mesh, since a coupled meshing process on all the fractures of the system may lead to elongated elements.

In [1, 2, 3] the authors propose a PDE-constrained optimization approach to flow simulations on arbitrary DFNs, in which neither fracture/fracture nor fracture/trace mesh conformity is required. The method is based on the minimization of a quadratic functional constrained by the state equations describing the
ow on the fractures. The approach totally circumvents the problem of mesh generation, without any need of geometrical modification tailored on the DFN (e.g., fracture or trace removal or displacement).
As far as space discretization on the fractures is concerned, several different discretization strategies can be used and mixed in order to improve approximation properties and provide high levels of accuracy, especially at fracture intersections, where a non-smooth behavior of the solution is expected.
In particular, Extended Finite Elements and Virtual Elements have been effectively used when dealing with complex DFN configurations.
By using a gradient based method for the minimization of the functional, the solution of the flow equations on each fracture of the network is carried on independently of the solution on the other fractures. This in turn, together with the meshing process independently performed on each fracture, allows in a natural way for parallel implementation of the overall method, thus providing an efficient handling of problem size and complexity. This is of paramount importance both for addressing computations on huge networks, and for performing massive simulations for uncertainty quantification in stochastically generated networks.

contac: nicola.parolini@polimi.it